Comprendre les Transformations dans une Configuration Papillon de Thalès
Exercice
La figure ci-dessous n’est pas à l’échelle.
Les points M, A et S sont alignés.
Les points M, T et H sont alignés.
L’angle HMS mesure 67°.
MH = 5 cm.
MS = 13 cm.
MT = 7 cm.
HS = 12 cm.
AT = 16,8 cm.
Question 1
Parmi les transformations suivantes quelle est celle qui permet d’obtenir le triangle MAT à partir du triangle MHS ?
Question 2
Sachant que la longueur MT est 1,4 fois plus grande que la longueur HM, un élève affirme : « L’aire du triangle MAT est 1,4 fois plus grande que l’aire du triangle MHS. » Cette affirmation est-elle vraie ?
Correction
Transformation du triangle MHS
Parmi les propositions, on retrouve la symétrie centrale, la symétrie axiale, la rotation, la translation et l’homothétie. Ces quatre premières transformations ont la particularité de conserver la mesure des longueurs. Pourtant, les longueurs du triangle MHS sont différentes du triangle MAT !
Cela signifie qu’il ne peut pas s’agir de l’une de ces quatres premières transformations. La transformation qui permet d’obtenir le triangle MAT à partir du triangle MHS est donc l’homothétie. Il s’agit d’une homothétie de centre M et de rapport -1.
Rapport entre l’aire du triangle MAT et MHS
La longueur MT est 1,4 fois plus grande que la longueur HM. Cela ne signifie toutefois pas que l’aire du triangle MAT est 1,4 fois plus grande que l’aire du triangle MHS !
Lors d’un agrandissement de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, mais les aires sont multipliées par k², et les volumes par k3. Donc si les longueurs sont multipliées par 1,4, les aires sont multipliées par 1,42, soit 1,96.
L’affirmation de l’élève est donc fausse. L’aire du triangle MAT est 1,96 fois plus grande que l’aire du triangle MHS.
Brevet
Cet exercice est extrait de l’épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB) qui évalue les acquis de fin de Collège.
Série : Générale
Localisation : Amérique du Nord
Date : 3 juin 2022
Référence : Exercice 1
