Comprendre les Propriétés de la Symétrie Centrale
Théorie
Deux figures sont symétriques par rapport à un point si elles sont superposables par rotation de 180° autour de ce point. Le centre de symétrie est le nom donné à ce point.
Ces 2 triangles sont symétriques par rapport au point O. Si on effectue une rotation de 180° du triangle ABC autour du point O, les 2 triangles se superposent. Le centre de symétrie est le point O.
Propriétés de conservation
La symétrie centrale possède des propriétés de conservation. L’image d’une figure par symétrie centrale conserve les longueurs, les alignements, les angles et l’aire de la figure de départ. Deux figures symétriques ont donc des longueurs, des alignements, des angles et des aires identiques.
Conservation des Longueurs
Propriété : "Les segments de 2 figures symétriques ont des longueurs identiques".
Dans une symétrie centrale, la longueur des segments est donc conservée. En conséquence, 2 figures symétriques ont également un périmètre identique.
La symétrie centrale conserve la longueur des segments. Le segment [AB] et son image [A’B’] ont une longueur identique.
Conservation des Alignements
Propriété : "Les points de 2 figures symétriques sont alignés de la même façon".
Dans une symétrie centrale, l’alignement des points est donc conservé. En conséquence, le parallélisme est conservé. Les symétriques de 2 droites parallèles sont également parallèles.
La symétrie centrale conserve l’alignement des points. B, X et C sont alignés, donc leurs images B’, X’ et C’ sont également alignés.
Conservation des Angles
Propriété : "Les angles de 2 figures symétriques ont des mesures identiques".
Dans une symétrie centrale, la mesure des angles est donc conservée.
La symétrie centrale conserve la mesure des angles. L’angle CAB et son image l’angle C’A’B’ ont une mesure identique.
Conservation des Aires
Propriété : "L’aire de 2 figures symétriques est identique".
Dans une symétrie centrale, l’aire des figures est donc conservée.
La symétrie centrale conserve l’aire des figures. Les 2 triangles ont une aire identique.
Exercices
Question 1
XYZ est l’image du triangle ABC par la symétrie centrale de centre O. Sachant que AB = 6 cm, BC = 5,5 cm et AC = 4,3 cm, quelle est la longueur de XZ ?
Question 2
Laquelle de ces propriétés de conservation ne s’applique pas à la symétrie centrale ?
Question 3
XYZ est l’image du triangle ABC par la symétrie centrale de centre O. Quelle est la mesure de l’angle XYZ ?