Simplifier une Fraction pour la Rendre Irréductible

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Théorie

Simplifier une fraction consiste à écrire une fraction avec des nombres plus petits. La simplification s’effectue en divisant le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun. Si le seul diviseur commun est 1, alors la fraction est irréductible.

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Exemple

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Simplification à l’aide de plusieurs divisions

1. Trouver un Diviseur Commun

La 1^re étape de la simplification d’une fraction est de trouver un diviseur commun entre le numérateur et le dénominateur. Pour trouver un diviseur commun facilement, on peut se servir des tables de multiplication. Si le numérateur et le dénominateur se trouvent dans la table de multiplication d’un même nombre, alors ce nombre est un diviseur commun.

Trouver un diviseur commun pour simplifier une fraction — Dans quelle table de multiplication commune se trouvent 10 et 20 ? 10 et 20 sont des nombres pairs, ils sont donc dans la table de 2. Tous les nombres dans la table de 2 sont divisibles par 2. 2 est donc un diviseur commun de 10 et 20.

Fiche de Synthèse

Apprendre les Tables de Multiplication

2. Diviser par le Diviseur Commun

L’étape suivante est de diviser le numérateur et le dénominateur par leur diviseur commun. Le résultat de la division est une fraction simplifiée (les nombres sont plus petits). Cette fraction simplifiée est égale à la fraction de départ.

Simplification d’une fraction à l’aide d’un diviseur commun — On divise par 2 le numérateur et le dénominateur, on obtient la fraction 5/10. 5/10 est une simplification de la fraction 10/20.

3. Obtenir une Fraction Irréductible

Une fraction irréductible est une fraction simplifiée au maximum (il est impossible de la simplifier davantage). Une fraction est irréductible si le seul diviseur commun entre le numérateur et le dénominateur est le chiffre 1. Pour obtenir une fraction irréductible, on répète les 2 étapes précédentes jusqu’à ce que le seul diviseur commun soit 1.

Utiliser un diviseur commun pour la simplification d’une fraction — 5 et 10 se trouvent dans la table de 5. 5 est donc un diviseur commun. En divisant par 5 le numérateur et le dénominateur, on obtient la fraction simplifiée 1/2.

Cette fraction est irréductible — Le seul diviseur commun est le chiffre 1. 1/2 est une fraction irréductible, elle a été simplifiée au maximum.

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Exemple

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Simplification à l’aide d’une seule division

1. Trouver le PGCD

Il est possible de rendre une fraction irréductible plus rapidement en effectuant une seule division. La technique consiste à trouver dès le départ le plus grand commun diviseur (PGCD) entre le numérateur et le dénominateur. Pour cela, on dresse par ordre croissant la liste de tous les diviseurs du numérateur et du dénominateur, et on sélectionne le plus grand diviseur en commun.

Trouver le plus grand commun diviseur d’une fraction — Le plus grand commun diviseur (PGCD) est 10.

2. Diviser par le PGCD

On divise ensuite le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur. Le résultat de la division est directement une fraction irréductible (il est impossible de la simplifier davantage).