Tracer l'Arbre de Probabilité d'Épreuves Successives

L'arbe de probabilité (appelé également arbre des issues ou arbre des possibles) permet de visualiser les issues d'une expérience aléatoire.

Dans cette fiche, tu vas apprendre à tracer l'arbre de probabilité d'une expérience composée de 2 épreuves successives.

Comment tracer l'arbre de probabilité de deux épreuves successives
On tire, deux fois de suite et avec remise, une boule dans une urne contenant 3 boules vertes et 2 boules rouges.
Comment tracer l'arbre de probabilité de ces deux épreuves successives ?

Cette expérience aléatoire est composée de 2 épreuves successives:

  • La 1ère épreuve correspond au 1er tirage d'une boule dans l'urne.
  • La 2ème épreuve correspond au 2ème tirage d'une boule dans l'urne.

Ces 2 épreuves sont identiques et indépendantes car la boule obtenue au 1er tirage est remise dans l'urne avant de procéder au 2ème tirage.

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    Tracer les branches de la 1ère épreuve

    La construction de l'arbre de probabilité démarre en traçant une branche pour chaque issue de la 1ère épreuve.

    La 1ère épreuve de l'expérience aléatoire possède 2 issues (vert ou rouge) donc 2 branches.

    Ajoute au bout de chaque branche une lettre majuscule désignant une des issues (V pour vert, R pour rouge).

    Construction des branches de la première épreuve de l'expérience aléatoire
    Chaque branche représente une issue de la 1ère épreuve de l'expérience aléatoire.
    Lors du 1er tirage, on peut obtenir une boule verte (V) ou rouge (R).
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    Tracer les branches de la 2ème épreuve

    À partir de chaque issue de la 1ère épreuve, trace les branches correspondant aux issues de la 2ème épreuve.

    La 2ème épreuve de l'expérience aléatoire possède également 2 issues (vert et rouge) donc 2 branches.

    Ajoute au bout de chaque nouvelle branche une lettre majuscule désignant une des issues.

    Construction des branches de la deuxième épreuve de l'expérience aléatoire
    La deuxième épreuve démarre après avoir obtenu une boule verte ou rouge, il y a donc 2 points de départ différents.
    Lors du 2ème tirage, on peut également obtenir une boule verte (V) ou rouge (R).
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    Indiquer les issues finales

    Complète ensuite l'arbre des probabilités en indiquant les issues finales à l'extrémité des branches.

    Puisque l'expérience est composée de 2 tirages successifs, chaque issue finale est composée de 2 boules de couleur.

    Représentation des issues finales d'une expérience aléatoire à deux épreuves
    Cette expérience aléatoire à deux épreuves possède 4 issues finales: (V,V), (V,R), (R,V) et (R,R).
    L'issue (V, R) signifie qu'on a obtenu une boule verte, puis une boule rouge.
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    Pondérer l'arbre de probabilité

    La pondération de l'arbre s'effectue en indiquant sur chaque branche la probabilité d'obtenir l'issue correspondant.

    La probabilité d'obtenir une boule de couleur s'obtient en divisant le nombre de boules de cette couleur par le nombre total de boules.

    Tu peux écrire chaque probabilité sous la forme d'une fraction, d'un nombre décimal ou d'un pourcentage.

    Pondération d'un arbre de probabilité à deux épreuves successives
    La pondération de l'arbre indique les probabilités des issues de chaque épreuve.
    Il y a 3 boules vertes sur un total de 5 boules, la probabilité de tirer une boule verte est de 3/5 ou 0,6 ou 60%.
    Il y a 2 boules rouges sur un total de 5 boules, la probabilité de tirer une boule rouge est de 2/5 ou 0,4 ou 40%.

    Propriété: La somme des probabilités des branches de même origine (point de départ identique) est égale à 1.

    N'hésite pas à utiliser cette propriété pour t'assurer que ta pondération est correcte.

    Somme des probabilités au sein d'un arbre des issues
    La somme des probabilités des branches de même origine est toujours égale à 1.
    3/5 + 2/5 = 1.
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    Calculer la probabilité des issues finales

    Pour compléter ton arbre de probabilité, tu peux y ajouter la probabilité de chaque issue finale.

    Pour calculer la probabilité d'une issue finale, il suffit de multiplier les probabilités des branches menant à cette issue.

    La probabilité d'une issue finale se note à l'extrémité de sa branche.

    Calcul de la probabilité des issues finales d'une expérience aléatoire à deux épreuves
    La probabilité d'une issue finale se calcule en multipliant les probabilités sur ses branches.
    P(V,V) = 3/5 x 3/5 = 9/25.
    P(V,R) = 3/5 x 2/5 = 6/25.
    P(R,V)) = 2/5 x 3/5 = 6/25.
    P(R,R) = 2/5 x 2/5 = 4/25.

    Propriété: La somme des probabilités des issues finales d'une expérience aléatoire est égale à 1.

    N'hésite pas à utiliser cette propriété pour t'assurer que tes calculs sont corrects.

    Somme des probabilités des issues finales d'une expérience aléatoire
    La somme des probabilités des issues finales d'une expérience aléatoire est toujours égale à 1.
    9/25 + 6/25 + 6/25 + 4/25 = 25/25 = 1.
Exercice de Synthèse

Vérifie si ta puissance mathématique a augmenté !

Expérience: On tire, deux fois de suite et avec remise, une boule dans une urne contenant 1 boule bleue, 3 boules rouges et 4 boules vertes.

Trace l'arbre de probabilité de cette expérience aléatoire à deux épreuves successives, puis compare ta réponse avec la correction.

Exercice pour tracer l'arbre de probabilité de deux épreuves successives
Exercice: Tracer l'arbre de probabilité de deux épreuves successives.
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