Construire l’Image d’un Segment par Symétrie Axiale
Théorie
Dans une symétrie axiale, les constructions s’effectuent par rapport à une droite appelée axe de symétrie. L’image d’un segment par symétrie axiale est le symétrique du segment de l’autre côté de l’axe de symétrie.
Exemple
![Segment [AB] dont on cherche à construire le symétrique par rapport à un axe de symétrie représenté par une droite (d).](/img/fiche/102/construire-symetrique-segment-symetrie-axiale.jpg "Construire le symétrique d’un segment par symétrie axiale")
Comment construire l’image du segment [AB] par symétrie axiale d’axe (d) ? L’axe de symétrie est la droite (d).
Tracer 2 Perpendiculaires
La 1re étape est de tracer, à partir de chaque extrémité du segment, une droite perpendiculaire à l’axe de symétrie. Les extrémités d’un segment sont les 2 points qui marquent le début et la fin du segment. Les 2 droites perpendiculaires forment un angle droit (90°) avec l’axe de symétrie.
La droite (d’) passe par l’extrémité A du segment et est perpendiculaire à l’axe de symétrie. L’intersection entre la droite (d’) et l’axe de symétrie est le point M.
La droite (d’’) passe par l’extrémité B du segment et est perpendiculaire à l’axe de symétrie. L’intersection entre la droite (d’’) et l’axe de symétrie est le point M’.
Trouver le Symétrique des Extrémités
Les symétriques (images) des extrémités du segment se situent sur les perpendiculaires, de l’autre côté de l’axe de symétrie. Pour trouver leur emplacement, on mesure sur chacune des perpendiculaires la distance entre l’extrémité et l’axe de symétrie. On reporte ensuite la distance mesurée de l’autre côté de l’axe de symétrie, sur la perpendiculaire correspondante. Les 2 points ainsi trouvés sont les symétriques des extrémités du segment.
Les 2 perpendiculaires servent à construire les symétriques des extrémités du segment. Les points A’ et B’ sont les symétriques (images) des extrémités A et B.
La distance AM est égale à la distance MA’.
La distance BM’ est égale à la distance M’B’.
Il est également possible de trouver le symétrique (image) de chaque extrémité du segment à l’aide d’un compas. La technique est expliquée au sein de la fiche de synthèse sur la construction de l’image d’un point.
Tracer le Symétrique du Segment
La dernière étape est de tracer, à l’aide d’une règle, un segment qui relie les 2 points trouvés à l’étape 2. Le segment obtenu est le symétrique (l’image) du segment par symétrie axiale.
Le segment [A’B’] est le symétrique du segment [AB] par symétrie axiale d’axe (d).
Propriété de conservation
Propriété : "La longueur de deux segments symétriques est identique."
Dans une symétrie axiale, la longueur des segments est toujours conservée.
![Les segments [AB] et [A’B’] ont la même longueur, 4 cm, car dans une symétrie axiale, les longueurs sont conservées.](/img/fiche/102/symetrie-axiale-segments-symetriques-longueurs-identiques.jpg "Dans une symétrie axiale, les segments symétriques ont des longueurs identiques")
Les segments symétriques par rapport à un axe de symétrie ont des longueurs identiques. La distance AB est égale à la distance A’B’.
Exercices
Question 1
Quelle est le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (d) ?
Question 2
Laquelle de ces propositions est vraie ?
Question 3
[DE] est le symétrique de [AB] par rapport à la droite (d), la distance BX est de 7 cm et les points B, X, E sont alignés. Quelle est la longueur du segment [BE] ?