Décomposer un Nombre Décimal par Rang
Théorie
En sixième, la décomposition d’un nombre décimal s’effectue selon un rang précis ou selon chaque rang. L’utilisation d’un tableau de numération facilite la décomposition des nombres décimaux.
Grâce au tableau de numération, il est plus facile de décomposer les nombres décimaux par rang.
Exemple
La décomposition d’un nombre décimal selon un rang précis est la somme de 2 multiplications.
Comment décomposer 23,765 selon le rang des dixièmes ?
1. Trouver le Nombre du Rang
La 1ère étape est de trouver le nombre du rang de la décomposition en plaçant le nombre décimal dans un tableau de numération. Le nombre du rang de la décomposition est l’ensemble des chiffres à l’intérieur et à gauche de la colonne correspondante. La virgule n’est jamais prise en compte lorsqu’on détermine le nombre d’un rang.
On souhaite décomposer 23,765 selon le rang des dixièmes. Le rang de la décomposition est donc le rang des dixièmes. Le nombre de dixièmes est l’ensemble des chiffres à l’intérieur et à gauche de la colonne des dixièmes. Le nombre de dixièmes est 237 (la virgule est ignorée).
2. Multiplier par le Coefficient
L’étape suivante est d’écrire la multiplication entre le nombre du rang de la décomposition (étape 1) et son coefficient. Chaque rang est associé à un coefficient :
- Le rang des dixièmes a pour coefficient 1/10.
- Le rang des centièmes a pour coefficient 1/100.
- Le rang des millièmes a pour coefficient 1/1000.
- Le rang des dix-millièmes a pour coefficient 1/10000.
Le rang de la décomposition est celui des dixièmes. Le nombre de dixièmes est 237 (étape 1). Le coefficient du rang des dixièmes est 1/10. La 1ère multiplication de la décomposition est 237 x 1/10.
3. Trouver le Nombre Restant
On part ensuite à la recherche du nombre restant. Le nombre restant est l’ensemble des chiffres à droite de la colonne de la décomposition.
Le rang de la décomposition est celui des dixièmes. Le nombre restant est l’ensemble des chiffres à droite de la colonne des dixièmes. Le nombre restant est 65.
4. Multiplier par le Coefficient
Le nombre restant est ensuite multiplié par son coefficient. Au sein du nombre restant, c’est le rang du dernier chiffre (à droite) qui détermine le coefficient. Si le dernier chiffre appartient au rang des :
- Dixièmes, le coefficient est 1/10.
- Centièmes, le coefficient est 1/100.
- Millièmes, le coefficient est 1/1000.
- Dix-millièmes, le coefficient est 1/10000.
L’écriture de la multiplication entre le nombre restant (étape 3) et son coefficient est la 2ème multiplication de la décomposition.
Le nombre restant est 65 (étape 3). Le rang du dernier chiffre (5) est celui des millièmes. Le coefficient des millièmes est 1/1000. La 2ème multiplication de la décomposition est 65 x 1/1000.
5. Additionner les Multiplications
Le résultat de la décomposition du nombre décimal est l’addition des 2 multiplications (étapes 2 et 4). Chaque multiplication est mise entre parenthèses pour ajouter de la clarté à la décomposition.
Les multiplications de l’étape 2 et 4 sont additionnées. Le résultat de la décomposition est donc (237 x 1/10) + (65 x 1/1000).
Exemple
Décomposer un nombre décimal selon chaque rang s’effectue en créant une multiplication pour chaque chiffre.
Comment décomposer 23,765 selon chaque rang ?
1. Trouver le Chiffre de Chaque Rang
Chaque chiffre d’un nombre décimal appartient à un rang. La 1ère étape est de trouver le chiffre de chaque rang en plaçant le nombre décimal dans un tableau de numération. Le chiffre d’un rang est l’unique chiffre situé dans la colonne correspondante.
23,765 est composé de 5 chiffres qui appartiennent chacun à un rang.
Le chiffre des dizaines est 2.
Le chiffre des unités est 3.
Le chiffre des dixièmes est 7.
Le chiffre des centièmes est 6.
Le chiffre des millièmes est 5.
2. Multiplier par le Coefficient
L’étape suivante est d’écrire la multiplication de chaque chiffre par son coefficient. Chaque rang est associé à un coefficient :
- Le rang des dizaines a pour coefficient 10.
- Le rang des unités a pour coefficient 1.
- Le rang des dixièmes a pour coefficient 1/10.
- Le rang des centièmes a pour coefficient 1/100.
- Le rang des millièmes a pour coefficient 1/1000.
Le chiffre des dizaines (2) est multiplié par 10.
Le chiffre des unités (3) est multiplié par 1.
Le chiffre des dixièmes (7) est multiplié par 1/10.
Le chiffre des centièmes (6) est multiplié par 1/100.
Le chiffre des millièmes (5) est multiplié par 1/1000.
3. Additionner les Multiplications
Le résultat de la décomposition du nombre décimal est l’addition de toutes les multiplications (étape 2). Les multiplications sont :
- Classées par ordre croissant (du rang le plus grand au rang le plus petit).
- Chacune mises entre parenthèses pour ajouter de la clarté à la décomposition.
On additionne par ordre décroissant toutes les multiplications de l’étape 2.
La multiplication du rang des unités est souvent supprimée, car multiplier un nombre par 1 ne sert à rien. La multiplication du rang des unités est remplacée par le chiffre des unités (pas de parenthèse ni de multiplication).
La multiplication du rang des unités (3 x 1) est remplacée par le chiffre des unités (3). Le résultat de la décomposition est donc (2 x 10) + 3 + (7 x 1/10) + (6 x 1/100) + (5 x 1/1000).
Exercice
Question 1
Quelle est la décomposition de ce nombre décimal selon le rang des dixièmes ?
Question 2
Quelle est la décomposition de ce nombre décimal selon chaque rang ?
Question 3
Quelle est la décomposition de ce nombre décimal selon le rang des millièmes ?