Découvrir les 3 Cas d'Égalité des Triangles

2 triangles sont égaux s'ils ont exactement les mêmes dimensions:

  • Leurs côtés sont de même longueur.
  • Leurs angles sont de même mesure.

Des triangles égaux sont superposables (si on les découpe, ils se recouvrent parfaitement).

Les côtés, angles et sommets identiques qui se superposent sont appelés des côtés, angles et sommets homologues.

2 triangles égaux ont des côtés, angles et sommets homologues
Les triangles ABC et DEF sont égaux.
Ils ont 3 paires d'angles homologues: ABC et DEF, BCA et EFD, CAB et FDE.
Ils ont 3 paires de côtés homologues: [AB] et [DE], [BC] et [EF], [CA] et [FD].
Ils ont 3 paires de sommets homologues: A et D, B et E, C et F.

Pour démontrer que 2 triangles sont égaux, il n'est pas nécessaire de vérifier que tous leurs côtés et leurs angles ont la même mesure.

La démonstration peut s'effectuer plus rapidement en utilisant l'un des trois cas d'égalité des triangles.

  1. 1

    3 côtés (CCC)

    Cas d'égalité CCC: Si 2 triangles ont leurs cotés deux à deux de même longueur, alors ces 2 triangles sont égaux.

    Tu peux démontrer que 2 triangles sont égaux s'ils ont 3 paires de côtés de même longueur.

    Cas d'égalité des triangles CCC: 3 côtés
    Les triangles ABC et DEF sont égaux car ils ont leurs côtés 2 à 2 de même longueur.

    La démonstration à l'aide du cas d'égalité CCC possède un avantage et un inconvénient:

    • Avantage: Il n'est pas nécessaire de comparer la mesure des angles.
    • Inconvénient: Il faut connaître la longueur de tous les côtés.
  2. 2

    1 angle entre 2 côtés (CAC)

    Cas d'égalité CAC: Si 2 triangles ont un angle de même mesure compris entre des côtés deux à deux de même longueur, alors ces 2 triangles sont égaux.

    Tu peux démontrer que 2 triangles sont égaux s'ils ont 1 paire d'angles de même mesure entre 2 paires de côtés de même longueur.

    Cas d'égalité des triangles CAC: 1 angle entre 2 côtés
    Les triangles ABC et DEF sont égaux car ils ont un angle de même mesure compris entre des côtés 2 à 2 de même longueur.

    La démonstration à l'aide du cas d'égalité CAC possède un avantage et un inconvénient:

    • Avantage: 1 paire d'angles de même mesure suffit.
    • Inconvénient: La paire d'angles de même mesure doit être entre 2 paires de côtés de même longueur.
  3. 3

    1 côté entre 2 angles (ACA)

    Cas d'égalité ACA: Si 2 triangles ont un côté de même longueur et des angles adjacents à ce côté deux à deux de même mesure, alors ces 2 triangles sont égaux.

    Tu peux démontrer que 2 triangles sont égaux s'ils ont 1 paire de côtés de même longueur entre 2 paires d'angles de même mesure.

    Cas d'égalité des triangles ACA: 1 côté entre 2 angles
    Les triangles ABC et DEF sont égaux car ils ont un côté de même longueur et des angles adjacents à ce côté 2 à 2 de même mesure.

    La démonstration à l'aide du cas d'égalité ACA possède un avantage et un inconvénient:

    • Avantage: 1 paire de côtés de même longueur suffit.
    • Inconvénient: La paire de côtés de même longueur doit être entre 2 paires d'angles de même mesure.
Exercice de Synthèse

Vérifie si ta puissance mathématique a augmenté !

Trouve toutes les paires de côtés homologues de ces 2 triangles égaux, puis compare ta réponse avec la correction.

Exercice sur les cas d'égalité des triangles
D'après le cas d'égalité ACA, ces 2 triangles sont égaux.
Quelles sont les paires de côtés homologues ?
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