EFFECTUER UNE DIVISION EUCLIDIENNE AVEC RESTE

FicheSixièmeOpérationEffectuer une division euclidienne avec reste
La division euclidienne (également appelée division entière) s'effectue entre 2 nombres entiers:
  • Le dividende est le nombre qui est divisé.
  • Le diviseur est le nombre qui divise.
La division euclidienne s'effectue entre un dividende et un diviseur
Comment effectuer la division euclidienne de 812 par 3 ?
Le dividende est "812".
Le diviseur est "3".
Effectuer une division euclidienne consiste à trouver le quotient et le reste de la division:
  • Le quotient est le résultat principal de la division.
  • Le reste est toujours inférieur au diviseur.
  1. 1

    Tracer 2 droites perpendiculaires

    Une division euclidienne s'effectue à partir de 2 droites perpendiculaires.
    Écris le dividende en haut à gauche de la droite verticale, et le diviseur en haut à droite.
    À la fin des calculs, le quotient apparaitra en bas de la droite horizontale et le reste en bas à gauche de la droite verticale.
    Les droites d'une division euclidienne séparent dividende, diviseur, quotient et reste
    2 droites séparent les éléments principaux de la division euclidienne: dividende, diviseur, quotient et reste.
  2. 2

    Trouver le 1er chiffre du quotient

    Repère le diviseur (en rouge) et le 1er chiffre en partant de la gauche du dividende (en vert) et pose-toi cette question:
    Par combien faut-il multiplier le diviseur pour obtenir le plus grand nombre inférieur ou égal au 1er chiffre du dividende ?
    Écris la réponse en-dessous de la droite horizontale, c'est le 1er chiffre du quotient.
    Premier chiffre du quotient de la division euclidienne
    Le plus grand nombre inférieur ou égal à 8 est obtenu en multipliant le diviseur par 2.
    Le 1er chiffre du quotient de la division euclidienne est donc 2.
  3. 3

    Multiplier le diviseur par le 1er chiffre du quotient

    Multiplie le diviseur (en rouge) par le 1er chiffre du quotient (en vert).
    Écris la réponse en-dessous du 1er chiffre du dividende.
    Multiplication du diviseur par le premier chiffre du quotient
    Le diviseur (3) est multiplié par le 1er chiffre du quotient (2).
  4. 4

    Trouver le reste provisoire

    Soustrais le 1er chiffre du dividende (en rouge) par le résultat de la multiplication (en vert).
    Écris la réponse en-dessous, c'est le reste provisoire de la division euclidienne.
    Ce reste est toujours inférieur au diviseur (si ce n'est pas le cas, une erreur a été commise aux étapes précédentes).
    Reste provisoire de la division euclidienne
    Soustraction du 1er chiffre du dividende (8) par le résultat de la multiplication (6).
    La réponse (2) est le reste provisoire de la division euclidienne.
    Le reste est inférieur au diviseur (2 < 3).
  5. 5

    Descendre le prochain chiffre du dividende

    Descends le 2e chiffre du dividende (en rouge) à côté du reste provisoire (en vert).
    Ces 2 chiffres forment ensemble un nouveau reste.
    Le deuxième chiffre du dividende descend à côté du reste provisoire
    Le 2e chiffre du dividende (1) descend à côté du reste provisoire (2) pour former un nouveau reste (21).
    Il faut maintenant recommencer toutes les étapes précédentes !
    Le quotient et le reste final apparaîtront lorsqu'il n'y aura plus aucun chiffre du dividende à descendre.
  6. 6

    Répéter les étapes précédentes

    Recommence à appliquer toutes les étapes précédentes à partir de cette question:
    Par combien faut-il multiplier le diviseur (en rouge) pour obtenir le plus grand nombre inférieur ou égal au reste (en vert) ?
    Écris la réponse en-dessous de la droite horizontale, c'est le 2e chiffre du quotient.
    Deuxième chiffre du quotient de la division euclidienne
    Le plus grand nombre inférieur ou égal à 21 est obtenu en multipliant le diviseur par 7.
    Le 2e chiffre du quotient de la division euclidienne est donc 7.
    Multiplie le diviseur (en rouge) par le 2e chiffre du quotient (en vert).
    Écris la réponse en-dessous du reste provisoire.
    Multiplication du diviseur par le deuxième chiffre du quotient
    Le diviseur (3) est multiplié par le 2e chiffre du quotient (7).
    Soustrais le reste provisoire (en rouge) par le résultat de la multiplication (en vert).
    Écris la réponse en-dessous, c'est le nouveau reste provisoire de la division euclidienne.
    Ce reste est toujours inférieur au diviseur (si ce n'est pas le cas, une erreur a été commise aux étapes précédentes).
    Nouveau reste provisoire de la division euclidienne
    Soustraction du reste provisoire (21) par le résultat de la multiplication (21).
    La réponse (0) est le nouveau reste provisoire de la division euclidienne.
    Le reste est inférieur au diviseur (0 < 3).
    La division euclidienne n'est pas terminée car tu peux encore descendre le dernier chiffre du dividende.
    Descends le 3e chiffre du dividende (en rouge) à côté du reste provisoire (en vert).
    Ces 2 chiffres forment ensemble un nouveau reste.
    Le troisième chiffre du dividende descend à côté du reste provisoire
    Le 3e chiffre du dividende (2) descend à côté du reste provisoire (0) pour former un nouveau reste (02).
    À partir d'ici, répète une nouvelle fois toutes les étapes précédentes !
  7. 7

    Répéter à nouveau les étapes précédentes

    Par combien faut-il multiplier le diviseur (en rouge) pour obtenir le plus grand nombre inférieur ou égal au reste (en vert) ?
    Écris la réponse en-dessous de la droite horizontale, c'est le 3e chiffre du quotient.
    Troisième chiffre du quotient de la division euclidienne
    Le plus grand nombre inférieur ou égal à 2 est obtenu en multipliant le diviseur par 0.
    Le 3e chiffre du quotient de la division euclidienne est donc 0.
    Multiplie le diviseur (en rouge) par le 3e chiffre du quotient (en vert).
    Écris la réponse en-dessous du reste provisoire.
    Multiplication du diviseur par le troisième chiffre du quotient
    Le diviseur (3) est multiplié par le 3e chiffre du quotient (0).
    Soustrais le reste provisoire (en rouge) par le résultat de la multiplication (en vert).
    Écris la réponse en-dessous, c'est le reste final de la division euclidienne car il n'y a plus de chiffre à descendre au niveau du dividende.
    Ce reste est toujours inférieur au diviseur (si ce n'est pas le cas, une erreur a été commise aux étapes précédentes).
    Reste final de la division euclidienne
    Soustraction du reste provisoire (2) par le résultat de la multiplication (0).
    La réponse (2) est le reste final de la division euclidienne.
    Le reste est inférieur au diviseur (2 < 3).
    Après avoir effectué la soustraction, s'il n'y a plus aucun chiffre du dividende à descendre, la division euclidienne est terminée.
    Le quotient (en rouge) est le nombre en bas de la droite horizontale.
    Le reste (en vert) est le nombre tout en bas à gauche de la droite verticale.
    Le quotient et le reste de la division euclidienne
    Le quotient de la division euclidienne est "270".
    Le reste de la division euclidienne est "2".
CAS PARTICULIER
La question de l'étape 2 (trouver le 1er chiffre du quotient) change dans certains cas particuliers.
Si la réponse est "0", repère les 2 premiers chiffres du dividende et transforme légèrement la question:
Par combien faut-il multiplier le diviseur pour obtenir le plus grand nombre inférieur ou égal aux 2 premiers chiffres du dividende ?
Écris la réponse en-dessous de la droite horizontale, puis effectue toutes les autres étapes normalement.
Cas particulier d'une division euclidienne
Le plus grand nombre inférieur ou égal à 32 est obtenu en multipliant le diviseur par 6 (5 x 6 = 30).
Le 1er chiffre du quotient de la division euclidienne est donc 6.
Parfois, la réponse est encore "0" même avec les 2 premiers chiffres du dividende.
Dans ce cas, repère les 3 premiers chiffres du dividende et transforme à nouveau la question:
Par combien faut-il multiplier le diviseur pour obtenir le plus grand nombre inférieur ou égal aux 3 premiers chiffres du dividende ?
Écris la réponse en-dessous de la droite horizontale, et continue à effectuer toutes les autres étapes normalement.
Deuxième cas particulier d'une division euclidienne
Le plus grand nombre inférieur ou égal à 160 est obtenu en multipliant le diviseur par 8 (20 x 8 = 160).
Le 1er chiffre du quotient de la division euclidienne est donc 8.
En conclusion, prends en considération un chiffre supplémentaire du dividende à chaque fois que la réponse à la question est "0".
ASTUCES
Si le reste final d'une division euclidienne est "0", alors le dividende est un multiple du diviseur.
Dans cette division euclidienne, le dividende est un multiple du diviseur
Le reste de cette division euclidienne est "0".
Le dividende (224) est donc un multiple du diviseur (7).
Il existe une équation mathématique qui unit les 4 éléments de la division euclidienne.
Le dividende est toujours égal au produit (multiplication) du diviseur par le quotient, auquel on ajoute le reste.
Équation mathématique entre dividende, diviseur, quotient et reste
Cette équation mathématique unit le dividende, le diviseur, le quotient et le reste d'une division euclidienne.
Utilise cette équation pour vérifier que le quotient et le reste sont corrects:
  • Si l'égalité est vraie, la division euclidienne a bien été effectuée.
  • Si l'égalité est fausse, la division euclidienne contient une erreur.
Vérification des réponses de la division euclidienne
Le dividende (812) est égal au produit du diviseur (3) par le quotient (270) auquel on ajoute le reste (2).
L'égalité est vraie, la division euclidienne est donc correcte.
EXERCICE DE SYNTHÈSE
Vérifie si ta puissance mathématique a augmenté !
Effectue cette division euclidienne, puis compare ta réponse avec la correction.
Exercice sur la division euclidienne
Exercice: Effectuer une division euclidienne
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