Effectuer une Division Euclidienne avec Reste

La division euclidienne (également appelée division entière) s’effectue entre 2 nombres entiers :

• Le dividende est le nombre qui est divisé.
• Le diviseur est le nombre qui divise.

Effectuer une division euclidienne consiste à trouver le quotient et le reste de la division :

• Le quotient est le résultat principal de la division.
• Le reste est toujours inférieur au diviseur.

1. Poser la Division

La 1^re étape est de poser la division euclidienne sur sa feuille de papier. La division euclidienne s’effectue à partir de 2 droites perpendiculaires :

• Le dividende se note en haut à gauche de la droite verticale.
• Le diviseur se note en haut à droite de la droite verticale.

À la fin des calculs, le quotient apparaîtra en bas de la droite horizontale et le reste en bas à gauche de la droite verticale.

2. Trouver le 1^er Chiffre du Quotient

On repère ensuite le diviseur (en rouge) et le 1^er chiffre en partant de la gauche du dividende (en vert). On se pose alors cette question : "Par combien faut-il multiplier le diviseur pour obtenir le plus grand nombre inférieur ou égal au 1^er chiffre du dividende ?"

La réponse se note en-dessous de la droite horizontale. Il s’agit du 1^er chiffre du quotient.

3. Multiplier par le Diviseur

L’étape suivante est de multiplier le 1^er chiffre du quotient (en vert) par le diviseur (en rouge). La réponse se note en-dessous du 1^er chiffre du dividende.

4. Trouver le Reste Provisoire

On soustrait ensuite au 1^er chiffre du dividende (en rouge) le résultat de la multiplication (en vert). La réponse se note en-dessous de la soustraction, il s’agit du reste provisoire de la division euclidienne. Ce reste est toujours inférieur au diviseur (si ce n’est pas le cas, une erreur a été commise aux étapes précédentes).

5. Descendre le Prochain Chiffre

L’étape suivante est de descendre le 2^e chiffre du dividende (en rouge) à côté du reste provisoire (en vert). Ces 2 chiffres forment ensemble un nouveau reste.

Il faut maintenant recommencer toutes les étapes précédentes ! Le quotient et le reste final apparaîtront lorsqu’il n’y aura plus aucun chiffre du dividende à descendre.

6. Répéter les Étapes Précédentes

Toutes les étapes précédentes sont maintenant répétées à partir de cette question : "Par combien faut-il multiplier le diviseur (en rouge) pour obtenir le plus grand nombre inférieur ou égal au reste (en vert) ?"

La réponse se note en-dessous de la droite horizontale. Il s’agit du 2^e chiffre du quotient.

On multiplie ensuite le 2^e chiffre du quotient (en vert) par le diviseur (en rouge). La réponse se note en-dessous du reste provisoire.

On soustrait ensuite au reste provisoire (en rouge) le résultat de la multiplication (en vert). La réponse se note en-dessous de la soustraction, il s’agit du nouveau reste provisoire de la division euclidienne. Ce reste est toujours inférieur au diviseur (si ce n’est pas le cas, une erreur a été commise aux étapes précédentes).

La division euclidienne n’est pas terminée, car on peut encore descendre le dernier chiffre du dividende. On descend donc le 3^e chiffre du dividende (en rouge) à côté du reste provisoire (en vert). Ces 2 chiffres forment ensemble un nouveau reste.

À partir d’ici, on répète une nouvelle fois toutes les étapes précédentes en commençant par cette question : "Par combien faut-il multiplier le diviseur (en rouge) pour obtenir le plus grand nombre inférieur ou égal au reste (en vert) ?"

La réponse se note en-dessous de la droite horizontale, c’est le 3^e chiffre du quotient.

Le 3^e chiffre du quotient (en vert) est ensuite multiplié par le diviseur (en rouge). La réponse se note en-dessous du reste provisoire.

On soustrait ensuite au reste provisoire (en rouge) le résultat de la multiplication (en vert). La réponse se note en-dessous de la soustraction.

C’est le reste final de la division euclidienne, car il n’y a plus de chiffre à descendre au niveau du dividende. Ce reste est toujours inférieur au diviseur (si ce n’est pas le cas, une erreur a été commise aux étapes précédentes).

7. Trouver le Quotient et le Reste

Après avoir effectué la soustraction, s’il n’y a plus aucun chiffre du dividende à descendre, la division euclidienne est terminée :

• Le quotient (en rouge) est le nombre en bas de la droite horizontale.
• Le reste (en vert) est le nombre tout en bas à gauche de la droite verticale.

La question de l’étape 2 (trouver le 1^er chiffre du quotient) change dans certains cas particuliers. Si la réponse est "0", on repère les 2 premiers chiffres du dividende et on transforme légèrement la question : "Par combien faut-il multiplier le diviseur pour obtenir le plus grand nombre inférieur ou égal aux 2 premiers chiffres du dividende ?"

La réponse se note en-dessous de la droite horizontale, puis on effectue toutes les autres étapes normalement.

Parfois, la réponse est encore "0" même avec les 2 premiers chiffres du dividende. Dans ce cas, on repère les 3 premiers chiffres du dividende et transforme à nouveau la question : "Par combien faut-il multiplier le diviseur pour obtenir le plus grand nombre inférieur ou égal aux 3 premiers chiffres du dividende ?"

La réponse se note en-dessous de la droite horizontale, puis on continue à effectuer toutes les autres étapes normalement.

En conclusion, on prend en considération un chiffre supplémentaire du dividende à chaque fois que la réponse à la question est "0".

La division euclidienne permet de trouver les multiples et diviseurs d’un nombre. Si le reste final d’une division euclidienne est "0", alors le dividende est un multiple du diviseur.

Il existe une équation qui unit les 4 éléments de la division euclidienne. Le dividende est toujours égal au produit (multiplication) du diviseur par le quotient, auquel on ajoute le reste.

Cette équation permet de vérifier que le quotient et le reste sont corrects :

• Si l’égalité est vraie, la division euclidienne est correcte.
• Si l’égalité est fausse, la division euclidienne contient une erreur.