Calculer la Longueur d'un Côté d'un Triangle en Trigonométrie
Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.
On considère un triangle RAS rectangle en S. Le côté [AS] mesure 80 cm et l'angle ARS mesure 26°.
Vidéo de correction
Vidéo de correction de l'exercice
Faire un schéma du triangle rectangle
L'exercice consiste à vérifier la longueur d'un côté d'un triangle rectangle. Commence par réaliser un schéma de ce triangle afin d'y voir plus clair. Il s'agit d'un triangle RAS rectangle en S. Cela signifie que le sommet de l'angle droit correspond au sommet S. Ajoute sur ton schéma les différentes mesures. On sait que le côté [AS] mesure 80 cm et que l'angle ARS mesure 26°.
Les relations trigonométriques
Si tu connais la longueur d'un côté d'un triangle rectangle, ainsi que la mesure de l'un des angles aigus, tu peux utiliser les relations trigonométriques pour calculer la longueurs des autres côtés. En Troisième, il existe 3 relations trigonométriques à connaître par cœur. Le cosinus d'un angle est égal à la longueur du côté qui lui est adjacent, divisé par la longueur de l'hypoténuse. Le sinus d'un angle est égal à la longueur du côté qui lui est opposé, divisé par la longueur de l'hypoténuse. Et la tangente d'un angle est égale à la longueur du côté qui lui est opposé, divisé par la longueur du côté qui lui est adjacent.
Identifier la formule trigonométrique à utiliser
Pour identifier la formule trigonométrique permettant de résoudre l'exercice, repère l'angle aigu dont tu connais la mesure, le côté dont tu connais la longueur, ainsi que le côté dont tu cherches à trouver la longueur. L'angle aigu dont tu connais la mesure est l'angle ARS. Par rapport à cet angle, le côté [AS] dont tu connais la mesure est le côté qui lui est opposé. Le côté [RS] est quant à lui le côté qui lui est adjacent. La formule trigonométrique qui met en relation la mesure d'un angle avec son côté opposé et son côté adjacent est la formule de la tangente. Tu peux donc utiliser la formule trigonométrique de la tangente pour résoudre cet exercice.
Utiliser la formule de la tangente
La tangente d'un angle est égale à la longueur du côté qui lui est opposé, divisé par la longueur du côté qui lui est adjacent. La tangente de l'angle ARS est donc égale à la longueur AS divisée par la longueur RS. En ajoutant les mesures que tu connais au sein de cette formule, tu obtiens que la tangente de 26° est égale à 80 divisé par RS. Au sein de cette équation, tu peux effectuer un produit en croix afin de trouver la valeur de RS. La tangente de 26° multipliée par RS est égale à 80. Ce qui signifie que RS est égal à 80 divisé par la tangente de 26°. Utilise ta calculatrice pour effectuer cette division, tu obtiendras comme résultat environ 164. La longueur du côté [RS] est donc d'environ 164 cm.
Exercice en image
Cet exercice est extrait de l'épreuve de mathématiques du Brevet des Collèges (DNB) Amérique du Nord (3 juin 2021).