Décomposer 195 en Produit de Facteurs Premiers

Les nombres premiers

Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Le plus petit nombre premier est le chiffre 2, car il possède deux diviseurs : 1 et 2 (lui-même). Le chiffre 1 n’est pas un nombre premier, parce qu’il possède uniquement un diviseur (lui-même).

Voici la liste des dix premiers nombres premiers classés par ordre croissant (du plus petit au plus grand) : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Décomposer en produit de facteurs premiers

La décomposition en produit de facteurs premiers s’effectue à l’aide des nombres premiers. Le nombre à décomposer doit d’abord être divisé par le plus petit nombre premier possible. Le résultat obtenu doit ensuite être divisé par le plus petit nombre premier possible, et ainsi de suite. La décomposition s’arrête lorsqu’on obtient le chiffre 1.

La première étape de cet exercice est donc d’identifier le plus petit nombre premier par lequel on peut diviser 195. 195 n’est pas divisible par 2, car il s’agit d’un nombre impair. 195 est par contre divisible par 3. En effet, si on applique le critère de divisibilité par 3, on constate que « 1 + 9 + 5 = 15 ». Or 15 est divisible par 3, donc 195 également. 195 divisé par 3 est égal à 65.

Le résultat obtenu, 65, doit être divisé par le plus petit nombre premier possible. 65 ne peut pas être divisé ni par 2, ni par 3. Par contre, on peut le diviser par 5. Le résultat est 13. 13 est ensuite uniquement divisible par le nombre premier 13. Le résultat de cette division est 1.

La décomposition de 195 en produit de facteurs premiers est la multiplication de tous les nombres premiers qui ont servi à le diviser. 195 a été divisé par 3, 5 et 13, donc « 195 = 3 × 5 × 13 ». Il s’agit de la décomposition de 195 en produit de facteurs premiers.

Cet exercice est extrait de l’épreuve de mathématiques du Brevet Amérique du Nord (DNB) du 3 juin 2022.