Diviser des Truffes au Chocolat dans des Boîtes
Énoncé
Pour fêter les 25 ans de sa boutique, un chocolatier souhaite offrir aux premiers clients de la journée une boîte contenant des truffes au chocolat.
Il a confectionné 300 truffes : 125 truffes parfumées au café et 175 truffes enrobées de noix de coco. Il souhaite fabriquer ces boîtes de sorte que :
- Le nombre de truffes parfumées au café soit le même dans chaque boîte ;
- Le nombre de truffes enrobées de noix de coco soit le même dans chaque boîte ;
- Toutes les truffes soient utilisées.
Question 1
Décomposer 125 et 175 en produit de facteurs premiers.
Question 2
En déduire la liste des diviseurs communs à 125 et 175.
Question 3
Quel nombre maximal de boîtes pourra-t-il réaliser ?
Question 4
Dans ce cas, combien y aura-t-il de truffes de chaque sorte dans chaque boîte ?
Correction
Décomposer 125 et 175 en produit de facteurs premiers
La décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers s’effectue en le divisant par des nombres premiers classés par ordre croissant. Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Le plus petit nombre premier est le chiffre 2.
Le plus petit nombre premier divisant 125 est 5. Le résultat de la division est 25. Ensuite, le plus petit nombre premier qui divise 25 est également 5. Le résultat de la division est 5. Une nouvelle fois, le plus petit nombre premier divisant 5 est 5. Le résultat de la division est 1.
La décomposition est terminée lorsqu’on obtient le chiffre 1. Pour écrire la décomposition de 125, il suffit de multiplier tous les nombres premiers utilisés lors de la division. Le nombre premier 5 a été utilisé trois fois de suite, donc « 125 = 5 × 5 × 5 ».
Le plus petit nombre premier divisant 175 est 5. Le résultat de la division est 35. Ensuite, le plus petit nombre premier qui divise 35 est également 5. Le résultat de la division est 7. Enfin, le plus petit nombre premier divisant 7 est 7. Le résultat obtenu est 1.
La décomposition est terminée. Les nombres premiers utilisés lors de la division sont 5 (deux fois de suite) et 7, donc « 175 = 5 × 5 × 7 ».
Diviseurs communs à 125 et 175
Les diviseurs communs à 125 et 175 sont les diviseurs qui divisent à la fois les nombres 125 et 175. La décomposition en produit de facteurs premiers permet d’identifier facilement la liste des diviseurs de chacun des nombres. Chaque résultat d’une multiplication composée d’un ou plusieurs nombres premiers de la décomposition est un diviseur.
« 125 = 5 × 5 × 5 ». Donc 5 est un diviseur de 125, mais également 25 (5 × 5) et 125 (5 × 5 × 5). À cette liste de diviseurs s’ajoute le chiffre 1 qui a la particularité de diviser tous les nombres. La liste des diviseurs de 125 est donc « 1, 5, 25 et 125 ».
« 175 = 5 × 5 × 7 ». Donc 5 et 7 sont des diviseurs de 175, mais également 25 (5 × 5), 35 (5 × 7) et 175 (5 × 5 × 7). À cette liste s’ajoute le chiffre 1. La liste des diviseurs de 175 est donc « 1, 5, 7, 25, 35 et 175 ».
Les diviseurs communs à 125 et 175 sont les diviseurs présents dans chacune des deux listes. 125 et 175 possèdent donc trois diviseurs communs : « 1, 5 et 25 ».
Nombre maximal de boîtes
Le chocolatier a confectionné 300 truffes : 125 truffes parfumées au café et 175 truffes enrobées de noix de coco. Il souhaite fabriquer des boîtes de sorte que le nombre de truffes au café soit le même nombre dans chaque boîte. Et que le nombre de truffes à la noix de coco soit identique dans chaque boîte également. Enfin, il souhaite utiliser toutes ces truffes.
Pour déterminer le nombre maximal de boîtes que le chocolatier peut réaliser, il faut se servir des diviseurs communs à 125 et 175. Il y a 125 truffes au café et 175 à la noix de coco. Ces deux nombres peuvent être divisés par 1, 5 et 25. Autrement dit, le chocolatier peut diviser ses truffes au café et à la noix de coco au sein de 1 boîte, 5 boîtes ou 25 boîtes. Le nombre maximal de boîtes que le chocolatier peut réaliser est donc 25.
Nombre de truffes dans chaque boîte
Le nombre de truffes de chaque sorte dans chaque boîte s’obtient en divisant chaque sorte de truffe par le nombre de boîtes. Il y a 125 truffes au café divisées au sein de 25 boîtes, donc 5 truffes au café dans chaque boîte, car « 125 ÷ 25 = 5 ». Il y a 175 truffes à la noix de coco divisées au sein de 25 boîtes, donc 7 truffes à la noix de coco dans chaque boîte, car « 175 ÷ 25 = 7 ». Chaque boîte contient donc 5 truffes au café et 7 truffes à la noix de coco.
Brevet
Cet exercice est extrait de l’épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB) qui évalue les acquis de fin de Collège.
Série : Générale
Localisation : Centres Étrangers
Date : 14 juin 2022
Référence : Exercice 5
