Utiliser le Théorème de Pythagore, Thalès et la Trigonométrie

Prouver que le segment [AB] mesure 4 cm

Le segment [AB] est l’un des côtés du triangle rectangle ABC rectangle en B. Tu peux déterminer la mesure du segment [AB] en utilisant les formules trigonométriques au sein de ce triangle. En trigonométrie, le cosinus d’un angle est égal à la longueur du côté adjacent divisé par la longueur de l’hypoténuse.

Au sein du triangle ABC, le cosinus de l’angle CAB est égal à la longueur du côté [AB] divisé par la longueur de l’hypoténuse [AC]. Autrement dit, le cosinus de 60° est égal à AB divisé par 8. En isolant AB au sein de l’équation trigonométrique, tu obtiens « AB = 4 ». Le segment [AB] mesure donc bien 4 cm.

Démontrer que (BC) et (DE) sont parallèles

Tu peux démontrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles à l’aide de la réciproque du théorème de Thalès. En effet, les points C, A, E et les points B, A, D sont alignés dans le même ordre. Tu peux donc vérifier si les droites sont parallèles en vérifiant si « CA / AE » est égal à « AB / AD ».

D’une part, « CA / AE = 8 / 19,2 ». D’autre part, « AB / AD = 4 / 9,6 ». Si on multiplie par 2 le numérateur et le dénominateur de cette deuxième fraction, on obtient la première fraction. C’est la preuve que « CA / AE = AB / AD ». Les droites (BC) et (DE) sont donc parallèles.

Déduire que (DB) est perpendiculaire à (DE)

Tu peux déduire que la droite (DB) est perpendiculaire à la droite (DE) à l’aide d’une propriété. La propriété stipule que, si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est également perpendiculaire à l’autre.

Dans cet exercice, la droite (CB) est parallèle à la droite (DE). De plus, la droite (CB) est perpendiculaire à la droite (DB). Tu peux donc en déduire que la droite (DB) est également parallèle à la droite (DE).

Calculer l’aire du triangle ADE

Le triangle ADE est rectangle en D. Pour calculer l’aire d’un triangle, tu dois multiplier sa base et sa hauteur, puis diviser le résultat par 2. Au sein d’un triangle rectangle, tu peux utiliser les côtés perpendiculaires comme base et hauteur. L’aire du triangle ADE est donc égale à « (DA x DE) ÷ 2 ».

On ne connaît pas la longueur DE. Tu peux cependant la calculer facilement à l’aide du théorème de Pythagore. Selon ce théorème, la longueur hypoténuse au carré est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés au carré. Donc « AE² = AD² + DE² ». En résolvant cette équation, tu obtiens que la mesure de DE est la racine carrée de 276,48.

Tu peux maintenant utiliser la formule de l’aire d’un triangle : « (DA x DE) ÷ 2 = 80 cm² » (arrondi à l’unité près). Tu peux donc conclure que l’aire du triangle ADE est d’environ 80 cm².

Cet exercice est extrait de l’épreuve de mathématiques du Brevet Centres Étrangers (DNB) du 14 juin 2022.