Démontrer l’Identité Remarquable (a+b)(a−b) = a²−b²

Une identité est une égalité entre deux expressions littérales, vraie quelles que soient les valeurs des lettres. Les identités remarquables sont des identités très utilisées pour développer et factoriser.

La démonstration algébrique de l’identité remarquable « (a + b)(a − b) = a² − b² » s’effectue en deux étapes.

Développer l’Expression

L’expression gauche de l’identité remarquable est un produit de deux parenthèses : « (a + b) » et « (a − b) ». La 1^re étape est de développer cette expression en effectuant la double distributivité. Le résultat obtenu est une expression développée sans aucune parenthèse.

Réduire l’Expression

L’expression développée possède deux termes de même famille : « −ab » et « +ab ». Il est donc possible de réduire cette expression, car ces deux termes s’annulent.

Le résultat obtenu est identique à l’expression droite de l’identité remarquable. « (a + b)(a − b) » est donc égal à « a² − b² », la démonstration est terminée !

L’identité remarquable peut être utilisée pour effectuer un développement ou une factorisation, selon l’expression littérale de départ :

• Elle permet de développer « (a + b)(a − b) ».
• Elle permet de factoriser « a² − b² ».