Développer l’Identité Remarquable (a+b)(a-b)

L’expression littérale « (a + b)(a - b) » est un produit de deux parenthèses. Le développement de cette expression peut s’effectuer à l’aide de la double distributivité. Il est cependant plus rapide et efficace d’appliquer la formule de l’identité remarquable.

Formule : « (a + b)(a - b) = a² - b² ».

1. Reconnaître l’Identité Remarquable

La première étape est de s’assurer que l’expression littérale correspond bien à l’identité remarquable « (a + b)(a - b) ». Pour cela, on vérifie qu’il s’agit d’un produit de 2 parenthèses contenant chacune 2 termes dont :

• Les premiers termes de chaque parenthèse sont identiques.
• Les deuxièmes termes de chaque parenthèse sont opposés.

Au sein de l’identité remarquable « (a + b)(a - b) » :

• La première parenthèse est une somme.
• La deuxième parenthèse est une différence.

2. Identifier « a » et « b »

La deuxième étape est d’identifier les valeurs de « a » et « b » au sein de l’identité remarquable. Pour cela, on se réfère à la première parenthèse contenant une somme :

• Le premier terme correspond à la valeur de « a ».
• Le deuxième terme correspond à la valeur de « b ».

3. Appliquer la Formule

Formule : « (a + b)(a - b) = a² - b² ».

D’après la formule de l’identité remarquable, le produit des deux parenthèses est égal à la différence des carrés des deux termes « a » et « b ».

Le résultat du développement s’obtient donc en élevant au carré chacun de ces deux termes. On n’oublie pas de noter le signe de la différence entre les deux carrés.

Parenthèses Inversées

L’ordre des parenthèses est parfois inversé : la première parenthèse est une différence, tandis que la deuxième est une somme.

Dans ce cas la formule à appliquer reste identique, sauf qu’on identifie « a » et « b » à partir de la deuxième parenthèse contenant la somme. Le résultat du développement de l’identité remarquable reste « a² - b² ».

Les multiplications sont commutatives, cela signifie que l’ordre des facteurs ne change pas le résultat :

• « 5 × 7 » est identique à « 7 × 5 ».
• « (a + b)(a - b) » est identique à « (a - b)(a + b) ».

Coefficients

Il est possible que les termes « a » et/ou « b » soient munis de coefficients. Dans ce cas, on prend en compte ces coefficients lorsqu’on élève les termes au carré.

Plusieurs Variables

Il est possible que les termes « a » et/ou « b » soient composés d’une ou plusieurs variables. Dans ce cas, on élève l’ensemble de ces variables au carré lorsqu’on applique la formule de l’identité remarquable.

L’identité remarquable « (a + b)(a - b) = a² - b² » peut s’avérer très utile pour effectuer des calculs mentaux rapidement. Elle permet de transformer certains produits en une différence de carrés, ce qui est parfois plus simple à calculer de tête.