Résoudre une Équation du Premier Degré

Une équation est une expression littérale sous la forme d’une égalité entre 2 membres. Les 2 membres de l’équation sont séparés par le signe égal (=).

Chaque membre est composé d’un ou plusieurs termes. Les termes sont séparés par les signes d’addition (+) et de soustraction (-).

Chaque terme appartient à une famille :

• Les termes avec "x" appartiennent à la famille "x".
• Les termes sans "x" appartiennent à la famille des termes indépendants.

Une équation est toujours composée d’au moins une lettre (généralement "x") qui représente une valeur inconnue. L’objectif d’une résolution d’équation est de trouver cette valeur inconnue.

1. Regrouper les Inconnues

La 1^re étape est de regrouper la famille "x" (les inconnues) dans le 1^er membre de l’équation. Les termes avec "x" qui sont déjà dans le 1^er membre ne bougent pas (ils sont au bon endroit). Par contre, les termes avec "x" du 2^e membre se déplacent dans le 1^er membre en respectant 2 règles :

• Un terme se déplace avec le signe à sa gauche (+ ou -).
• Le signe d’un terme change lors du passage d’un membre à l’autre (+ devient - et - devient +).

Cette technique de déplacement des termes au sein d’une équation repose sur un principe de résolution d’équation très important. On peut modifier l’écriture d’une équation en effectuant la même opération mathématique au sein du 1^er et 2^e membre de l’équation. Dans cette étape, déplacer "x" au sein du 1^er terme revient à soustraire "x" des 2 membres de l’équation :

• Dans le 1^er membre, on retire "x" et donc apparaît "-x".
• Dans le 2^e membre, on retire également "x" et donc "x" disparaît (x - x = 0).

2. Regrouper les Termes Indépendants

L’étape suivante est de regrouper tous les termes indépendants au sein du 2^e membre de l’équation. Les termes indépendants qui sont déjà dans le 2^e membre ne bougent pas (ils sont au bon endroit). Par contre, les termes indépendants du 1^er membre se déplacent dans le 2^e membre en respectant les 2 mêmes règles :

• Un terme se déplace avec le signe à sa gauche (+ ou -).
• Le signe change lorsqu’il passe d’un membre à l’autre (+ devient - et - devient +).

Dans cette étape, déplacer "-7" au sein du 2^e terme revient à ajouter "7" au sein des 2 membres de l’équation :

• Dans le 1^er membre, on ajoute "7" et donc "7" disparaît (-7 + 7 = 0).
• Dans le 2^e membre, on ajoute également "7" et donc "+7" apparaît.

3. Réduire l’Équation

Une fois les inconnues regroupées dans le 1^er membre et les termes indépendants dans le 2^e membre, on passe à la réduction de l’équation. Pour réduire une équation, on additionne et soustrait les termes appartenant à une même famille :

• Dans le 1^er membre, on effectue l’addition et la soustraction des termes de la famille "x".
• Dans le 2^e membre, on effectue l’addition et la soustraction des termes indépendants.

4. Diviser par le Coefficient

Pour trouver la valeur de l’inconnue "x", il ne reste plus qu’à diviser chaque membre de l’équation par le coefficient de "x". Le coefficient de "x" est le nombre collé à gauche de l’inconnue. L’objectif de cette division est d’isoler totalement l’inconnue au sein de l’équation afin d’obtenir "x = une valeur".

5. Noter la Solution de l’Équation

Lorsque l’équation est sous la forme "x = une valeur numérique", la résolution est terminée. La valeur à droite du signe égal est la valeur de l’inconnue. La solution de l’équation se note entre des accolades : "S = { valeur }".

Il est possible de vérifier facilement si la solution de l’équation est correcte. On remplace pour cela l’inconnue par la valeur trouvée, puis on effectue les opérations au sein de chaque membre. Si les 2 membres de l’équation sont égaux, alors la solution trouvée est correcte.