Démontrer que 2 Triangles sont Égaux

La démonstration que 2 triangles sont égaux s'effectue à partir de l'un des 3 cas d'égalité des triangles.
Avant d'aller plus loin, consulte la fiche ci-dessous pour te familiariser avec les 3 cas d'égalité des triangles.
Comment démontrer que des triangles sont égaux
Au sein du rectangle ABCD, comment démontrer que les triangles ABC et CDA sont égaux ?
  1. 1

    Démonstration avec 3 côtés (CCC)

    Tu peux démontrer que 2 triangles sont égaux en indiquant qu'ils ont 3 paires de côtés de même longueur.
    Commence ta démonstration en cherchant 1 paire de côtés de même longueur.
    Cette 1ère paire de côtés apparait facilement puisque les 2 triangles ont un côté commun.
    Démonstration que les 2 triangles sont égaux avec le cas d'égalité CCC
    Le côté [AC] est commun aux 2 triangles.
    Il s'agit de la 1ère paire de côtés de même longueur.
    Pars ensuite à la recherche de 2 autres paires de côtés de même longueur.
    Ces 2 paires de côtés sont les paires de côtés opposés du rectangle ABCD.
    Dans un rectangle, les côtés opposés ont toujours la même longueur.
    Démonstration que les 2 triangles sont égaux avec le cas d'égalité CCC
    [AB] et [DC] sont 2 côtés opposés d'un rectangle, ils ont donc la même longueur.
    [BC] et [AD] sont 2 côtés opposés d'un rectangle, ils ont donc la même longueur.
    Il s'agit des 2 autres paires de côtés de même longueur.
    Les triangles ABC et CDA ont 3 paires de côtés de même longueur.
    D'après le cas d'égalité CCC, ces 2 triangles sont égaux.
  2. 2

    Démonstration avec 1 angle entre 2 côtés (CAC)

    Tu peux démontrer que 2 triangles sont égaux en indiquant qu'ils ont 1 paire d'angles de même mesure entre 2 paires de côtés de même longueur.
    Commence ta démonstration en cherchant 1 paire d'angles de même mesure.
    Cette paire d'angles apparait facilement puisque tous les angles d'un rectangle mesurent 90°.
    Les 2 triangles ont une paire d'angles de même mesure
    ABC et CDA sont 2 angles droits d'un rectangle, ils ont donc la même mesure.
    Il s'agit d'une paire d'angles de même mesure.
    Pour compléter ta démonstration, tu dois indiquer que cette paire d'angles est entre 2 paires de côtés de même longueur.
    Ces 2 paires de côtés sont les paires de côtés opposés du rectangle ABCD.
    Dans un rectangle, les côtés opposés ont toujours la même longueur.
    Démonstration que les 2 triangles sont égaux avec le cas d'égalité CAC
    [AB] et [DC] sont 2 côtés opposés d'un rectangle, ils ont donc la même longueur.
    [BC] et [AD] sont 2 côtés opposés d'un rectangle, ils ont donc la même longueur.
    Il s'agit de 2 paires de côtés de même longueur.
    Les triangles ABC et CDA ont 1 paire d'angles de même mesure entre 2 paires de côtés de même longueur.
    D'après le cas d'égalité CAC, ces 2 triangles sont égaux.
  3. 3

    Démonstration avec 1 côté entre 2 angles (ACA)

    Tu peux démontrer que 2 triangles sont égaux en indiquant qu'ils ont 1 paire de côtés de même longueur entre 2 paires d'angles de même mesure.
    Commence ta démonstration en cherchant 1 paire de côtés de même longueur.
    Cette 1ère paire de côtés apparait facilement puisque les 2 triangles ont un côté commun.
    Les 2 triangles ont un côté commun
    Le côté [AC] est commun aux 2 triangles.
    Il s'agit de la 1ère paire de côtés de même longueur.
    Pour compléter ta démonstration, tu dois indiquer que cette paire de côtés est entre 2 paires d'angles de même mesure.
    Ces 2 paires d'angles sont des paires d'angles alternes-internes.
    Puisque les droites (AB) et (DC) sont parallèles (côtés opposés d'un rectangle), ces angles alternes-internes ont la même mesure.
    Démonstration que les 2 triangles sont égaux avec le cas d'égalité ACA
    BAC et DCA sont 2 angles alternes-internes de même mesure.
    BCA et DAC sont 2 angles alternes-internes de même mesure.
    Il s'agit de 2 paires d'angles de même mesure.
    Les triangles ABC et CDA ont 1 paire de côtés de même longueur entre 2 paires d'angles de même mesure.
    D'après le cas d'égalité ACA, ces 2 triangles sont égaux.
Exercice de Synthèse
Vérifie si ta puissance mathématique a augmenté !
Démontre que les 2 triangles ci-dessous sont égaux, puis compare ta réponse avec la correction.
Exercice pour démontrer que 2 triangles sont égaux
Au sein du triangle ABC isocèle en B, démontre que les triangles ABD et CBD sont égaux en utilisant le cas d'égalité CAC.
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