Factorisation - Mettre en Évidence un Facteur Commun

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Théorie

Factoriser une expression littérale consiste à transformer son écriture en faisant apparaître une multiplication. L’une des techniques permettant de factoriser une expression est la mise en évidence d’un facteur commun.

Mettre en Évidence une Lettre

Expression littérale 3xy + 2x à factoriser par la mise en évidence d’une lettre. — Expression littérale dont le facteur commun à mettre en évidence est une **lettre**.

Avant de factoriser, on identifie les différents termes de l’expression littérale. Les termes sont séparés par les signes d’addition (+) et de soustraction (-).

Expression littérale 3xy + 2x composée de deux termes. — L’expression littérale est composée de **2 termes**.

La 1^re étape de la factorisation est de trouver un facteur commun. Le facteur commun est le facteur qui se répète au sein des différents termes. On peut le trouver facilement en comparant les termes de l’expression littérale.

3xy + 2x avec comme facteur commun la lettre x mise en évidence. — Le **facteur commun** est la lettre "x" (elle se trouve dans chaque terme).

Une fois identifié, le facteur commun doit être mis en évidence. La mise en évidence s’effectue en écrivant le facteur commun devant une parenthèse. On divise ensuite chaque terme de l’expression littérale par le facteur commun, et on note chaque résultat dans la parenthèse.

Mise en évidence du facteur commun au sein de l’expression : x(3y + 2). — Le facteur commun "x" est **mis en évidence** devant une parenthèse. Dans la parenthèse, chaque terme est divisé par "x".

3xy / x = 3y.

2x / x = 2.

La factorisation de l’expression littérale est terminée. L’expression est désormais une multiplication entre 2 facteurs : une lettre et une parenthèse.

Le résultat de la factorisation, x × (3y + 2), est une multiplication de deux facteurs. — Le **résultat de la factorisation** est une multiplication de 2 facteurs. Il n’est pas obligatoire de noter le signe de la multiplication devant une parenthèse.

Mettre en Évidence un Nombre

Expression littérale 15x + 15y - 15z à factoriser en mettant en évidence un nombre. — Expression littérale dont le facteur commun à mettre en évidence est un **nombre**.

La 1^re étape de la factorisation est de trouver un facteur commun en comparant les termes de l’expression littérale. Dans cet exemple, le facteur en commun au sein des différents termes n’est pas une lettre, mais un nombre.

Le facteur commun au sein de l’expression 15x + 15y - 15z est le nombre 15. — Le **facteur commun** est le nombre 15 (il se trouve dans chaque terme).

La 2^e étape de la factorisation est de mettre en évidence le facteur commun. La mise en évidence s’effectue en écrivant le facteur commun devant une parenthèse. On divise ensuite chaque terme de l’expression littérale par le facteur commun, et on note chaque résultat dans la parenthèse.

Mise en évidence du facteur commun 15 au sein de l’expression littérale : 15(x + y - z). — Le **facteur commun** 15 est mis en évidence devant une parenthèse. Dans la parenthèse, chaque terme est divisé par 15.

15x / 15 = x.

15y / 15 = y.

-15z / 15 = -z.

Mettre en Évidence un Diviseur Commun

Expression littérale 12a + 6h à factoriser par la mise en évidence d’un diviseur commun. — Expression littérale dont le facteur commun à mettre en évidence est un **diviseur commun**.

Lorsque aucun nombre ou lettre n’est commun au sein des termes de l’expression littérale, on part à la recherche d’un diviseur commun. Les diviseurs communs se trouvent facilement en dressant la liste des diviseurs de chaque nombre. Le facteur commun servant à la factorisation est le plus grand diviseur commun (il doit être plus grand que 1).

Le facteur commun est le plus grand diviseur commun entre 12 et 6 : 6. — 12 et 6 partagent des diviseurs communs. Le facteur commun est le **plus grand diviseur commun** (6).

Fiche de Synthèse

Trouver les Multiples et Diviseurs d’un Nombre

Une fois le facteur commun identifié, la factorisation s’effectue normalement. Le facteur commun est mis en évidence devant une parenthèse. À l’intérieur de la parenthèse, chaque terme est divisé par le facteur commun.

Factorisation de l’expression littérale par mise en évidence du diviseur commun : 6(2a + h). — Le facteur commun 6 est **mis en évidence** devant une parenthèse. Dans la parenthèse, chaque terme est divisé par 6.

12a / 6 = 2a.

6b / 6 = b.

Mette en Évidence Plusieurs Facteurs

Expression littérale 25abc - 15b²c + 20bc à factoriser par mise en évidence d’un facteur commun. — Expression littérale dont le facteur commun à mettre en évidence est composé de **plusieurs facteurs**.

Les termes d’une expression littérale partagent parfois plusieurs facteurs communs. Le facteur commun à mettre en évidence doit toujours être constitué de tous les facteurs en commun au sein des différents termes de l’expression littérale. Le facteur commun peut donc être un mélange constitué d’un nombre (ou un diviseur commun) et de plusieurs lettres.

Le facteur commun est composé de lettres et de nombres : 5bc. — 25, 15 et 20 partagent un diviseur commun : 5. Chaque terme possède également les lettres "b" et "c". Le facteur commun est donc "5bc".

Pour factoriser l’expression, le facteur commun est mis en évidence devant une parenthèse. On divise ensuite chaque terme de l’expression littérale par le facteur commun, et on note chaque résultat dans la parenthèse.

La factorisation de l’expression s’effectue par mise en évidence du facteur commun : 5bc(5a - 3b + 4). — Le facteur commun "5bc" est **mis en évidence** devant une parenthèse. Dans la parenthèse, chaque terme est divisé par "5bc".

25abc / 5bc = 5a.

-15b²c / 5bc = -3b.

20bc / 5bc = 4.

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Technique de vérification

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Il est possible de vérifier facilement si le résultat d’une factorisation est correct. Cette vérification s’effectue en appliquant la distributivité simple afin de développer l’expression littérale factorisée. Si le résultat du développement est l’expression littérale de départ, alors la factorisation est correcte. Le développement étant le contraire de la factorisation, il est normal de retomber sur l’expression de départ.