Découvrir les Propriétés des Triangles de Thalès

Lorsque deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, on obtient deux triangles en situation de Thalès. L’un des triangles est un agrandissement de l’autre. Ces deux triangles partagent des propriétés communes :

• Leurs angles homologues ont la même mesure.
• Leurs côtés homologues sont parallèles et proportionnels.

Ces propriétés sont au cœur du théorème de Thalès. Prendre le temps de bien les comprendre permet ensuite de manipuler le théorème plus facilement.

La configuration emboîtée est enseignée en Quatrième, tandis que la configuration papillon est abordée en Troisième. Les triangles de ces deux configurations possèdent les mêmes propriétés.

Sommets Homologues

En situation de Thalès, l’un des triangles est un agrandissement de l’autre triangle. À chaque sommet du petit triangle correspond donc un sommet du grand triangle. Ces sommets qui se correspondent sont appelés des sommets homologues.

Les deux triangles partagent un sommet commun, c’est la première paire de sommets homologues. Chaque autre sommet du petit triangle a pour homologue le sommet du grand triangle situé sur la même droite.

Pour nommer deux triangles en situation de Thalès, on écrit leurs sommets homologues dans le même ordre :

• Les triangles ABC et ADE sont en configuration emboîtée.
• Les triangles ABC et ADE sont en configuration papillon.

Côtés Homologues Parallèles

Deux côtés sont homologues si leurs extrémités sont des sommets homologues. Les deux triangles en situation de Thalès partagent trois paires de côtés homologues. Ces côtés homologues sont parallèles car :

• Les côtés homologues opposés au sommet commun sont situés sur les deux droites parallèles.
• Les deux autres paires de côtés homologues sont situées sur une même droite.

Angles Homologues de Même Mesure

Deux angles sont homologues si leurs sommets sont homologues. Les deux triangles en situation de Thalès partagent trois paires d’angles homologues de même mesure.

En configuration emboîtée, les angles homologues ont la même mesure car :

• Les angles homologues issus du sommet commun sont identiques.
• Les deux autres paires d’angles homologues sont des paires d’angles correspondants formés par des droites parallèles.

En configuration papillon, les angles homologues ont la même mesure car :

• Les angles homologues issus du sommet commun sont des angles opposés par le sommet.
• Les deux autres paires d’angles homologues sont des paires d’angles alternes-internes formés par des droites parallèles.

Côtés Homologues Proportionnels

En situation de Thalès, le grand triangle est un agrandissement du petit triangle. Leurs côtés homologues sont liés par un coefficient de proportionnalité. En multipliant la longueur de chaque côté du petit triangle par ce coefficient, on obtient la longueur des côtés du grand triangle.

Le coefficient de proportionnalité est un coefficient d’agrandissement ou de réduction selon le sens de la transformation. En divisant la longueur d’un côté du grand triangle par celle de son côté homologue dans le petit triangle, on obtient le coefficient d’agrandissement :

• AD ÷ AB = 15 ÷ 5 = 3
• AE ÷ AC = 18 ÷ 6 = 3
• DE ÷ BC = 12 ÷ 4 = 3

À l’inverse, en divisant la longueur d’un côté du petit triangle par celle de son côté homologue dans le grand triangle, on obtient le coefficient de réduction :

• AB ÷ AD = 5 ÷ 15 = 1/3
• AC ÷ AE = 6 ÷ 18 = 1/3
• BC ÷ DE = 4 ÷ 12 = 1/3

Un coefficient de proportionnalité supérieur à 1 correspond à un agrandissement, tandis qu’un coefficient compris entre 0 et 1 correspond à une réduction.